, Начальная школа
Цели:
Обучающие:
Развивающие:
Воспитывающие:
Подготовка к уроку.
1. На демонстрационном ПК загрузить:
2. На всех компьютерах загрузить:
Ход урока
1. Организационный этап урока.
а). Разминка. – Улыбнулись друг другу. Сказали добрые слова на букву И.
б). Скажите, с какими высказываниями вы познакомились на предыдущем уроке?
А сейчас повторим:
Истинные высказывания отметьте буквой “И”, а ложные- буквой “Л”.
Как вы думаете, вы всё узнали о логических операциях? Тема урока: логические действия “И” “ИЛИ”.
Сегодня мы отправляемся в удивительную страну “Логика”.
Но чтобы попасть в неё, мы должны пройти через ворота, где стоят два стража логические действия И и ИЛИ, и выполнить их задание.
Задание №1.
И Выбери круглый и съедобный. (рис. 3)
ИЛИ. Я не очень строгий страж и доволен, когда верно хотя бы одно моё высказывание.
Выбери круглый или съедобный. (рис. 4)
Сколько предметов взяли?
Вывод: Логические операции: “И” - пересечение, “ИЛИ” - выбор, объединение. (Приложение 1)
2. Этап усвоения и закрепления.
Задание №25.
Разложи геометрические фигуры:
Какие фигуры принадлежат обоим множествам?
Задания №26, №27, №28.
3. Оздоровительная минутка. (Для глаз, пальчиков и т. д.)
4. Этап обобщения полученных знаний.
Домашнее задание №36.
А) В задании надо провести стрелочки от предмета в область или нарисовать его в этой области.
Б) Выпиши множества:
5. Физкультминутка.
А сейчас отдохнём. Выполнив, условие и мы получаем результат.
Мы руками поведём -
Будто в море мы плывём.
1, 2, 3, 4 -
Вот мы к берегу приплыли.
Чтобы косточки рязмять,
Начнём наклоны выполнять -
Вправо и влево, назад и вперёд,
Влево и вправо, назад и вперёд.
Не забудем и присесть -
А теперь всем тихо сесть.
Выполнив условие физминутки, какой получаем результат? (Отдыхаем, расслабляемся).
Все достигли этого результата?
6. Информационная минутка.
Компьютер в парикмахерской (Приложение 2)
Технологию подбора прически можно продемонстрировать разными способами, в зависимости от уровня техники и наличия программного обеспечения. Можно заранее отсканированное изображение (например, фотографию класса - вот будет сюрприз для детей!) отредактировать на глазах детей в графическом редакторе или воспользоваться специализированными программными продуктами. Но очень важно в конце информационной минутки напомнить ребятам, что графическое изображение переносится в компьютер с помощью сканера, и подчеркнуть преимущества моделирования причесок на компьютере (не надо проводить натурных экспериментов, результаты которых к тому же могут оказаться и неудачными).
7. Работа на компьютере. Игра “перевозчик”.
Давайте посмотрим, какие пары могут образовывать наши пассажиры, а какие нет. Из условия задачи следует:
8. Итог урока.
Какая задача урока стояла перед нами?
Выполнили ли мы её?
Спасибо за урок. До свидания.
Литература.
Алгебра логики (англ. algebra of logic ) — один из основных разделов математической логики, в котором методы алгебры используются в логических преобразованиях.
Основоположником алгебры логики является английский математик и логик Дж. Буль (1815-1864), положивший в основу своего логического учения аналогию между алгеброй и логикой. Любое высказывание он записывал с помощью символов разработанного им языка и получал «уравнения», истинность или ложность которых можно было доказать, исходя из определенных логических законов, таких как законы коммутативности, дистрибутивности, ассоциативности и др.
Современная алгебра логики является разделом математической логики и изучает логические операции над высказываниями с точки зрения их истинностного значения (истина, ложь). Высказывания могут быть истинными, ложными или содержать истину и ложь в разных соотношениях.
Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно утверждать, что его содержание истинно или ложно.
Например, «3 умножить на 3 равно 9», «Архангельск севернее Вологды» — истинные высказывания, а «Пять меньше трех», «Марс — звезда» — ложные.
Очевидно, что не всякое предложение может быть логическим высказыванием, т. к. не всегда есть смысл говорить о его ложности или истинности. Например, высказывание «Информатика — интересный предмет» неопределенно и требует дополнительных сведений, а высказывание «Для ученика 10-А класса Иванова А. А. информатика — интересный предмет» в зависимости от интересов Иванова А. А. может принимать значение «истина» или «ложь».
Кроме двузначной алгебры высказываний , в которой принимаются только два значения — «истинно» и «ложно», существует многозначная алгебра высказываний. В такой алгебре, кроме значений «истинно» и «ложно», употребляются такие истинностные значения, как «вероятно», «возможно», «невозможно» и т. д.
В алгебре логики различаются простые (элементарные) высказывания , обозначаемые латинскими буквами (A, B, C, D, …), и сложные (составные), составленные из нескольких простых с помощью логических связок, например таких, как «не», «и», «или», «тогда и только тогда», «если … то» . Истинность или ложность получаемых таким образом сложных высказываний определяется значением простых высказываний.
Обозначим как А высказывание «Алгебра логики успешно применяется в теории электрических схем», а через В — «Алгебра логики применяется при синтезе релейно-контактных схем».
Тогда составное высказывание «Алгебра логики успешно применяется в теории электрических цепей и при синтезе релейно-контактных схем» можно кратко записать как А и В ; здесь «и» — логическая связка. Очевидно, что поскольку элементарные высказывания А и В истинны, то истинно и составное высказывание А и В .
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.
Логических значений всего два: истина (TRUE) и ложь (FALSE) . Это соответствует цифровому представлению — 1 и 0 . Результаты каждой логической операции можно записать в виде таблицы. Такие таблицы называют таблицами истинности.
Основные операции алгебры логики
1. Логическое отрицание, инверсия (лат. inversion — переворачивание) — логическая операция, в результате которой из данного высказывания (например, А) получается новое высказывание (не А ), которое называется отрицанием исходного высказывания , обозначается символически чертой сверху ($A↖{-}$) или такими условными обозначениями, как ¬, "not" , и читается: «не А», «А ложно», «неверно, что А», «отрицание А» . Например, «Марс — планета Солнечной системы» (высказывание А); «Марс — не планета Солнечной системы» ($A↖{-}$); высказывание «10 — простое число» (высказывание В) ложно; высказывание «10 — не простое число» (высказывание B) истинно.
Операция, используемая относительно одной величины, называется унарной . Таблица значений данной операции имеет вид
Высказывание $A↖{-}$ ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно.
Геометрически отрицание можно представить следующим образом: если А — это некоторое множество точек, то $A↖{-}$ — это дополнение множества А, т. е. все точки, которые не принадлежат множеству А.
2. Конъюнкция (лат. conjunctio — соединение) — логическое умножение, операция, требующая как минимум двух логических величин (операндов) и соединяющая два или более высказываний при помощи связки «и» (например, «А и В» ), которая символически обозначается с помощью знака ∧ (А ∧ В) и читается: «А и В». Для обозначения конъюнкции применяются также следующие знаки: А ∙ В; А & В, А and В , а иногда между высказываниями не ставится никакого знака: АВ. Пример логического умножения: «Этот треугольник равнобедренный и прямоугольный». Данное высказывание может быть истинным только в том случае, если выполняются оба условия, в противном случае высказывание ложно.
| A | B | A ∧ B |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Высказывание А ∧ В истинно только тогда, когда оба высказывания — А и В истинны.
Геометрически конъюнкцию можно представить следующим образом: если А, В А ∧ В есть пересечение множеств А и В .
3. Дизъюнкция (лат. disjunction — разделение) — логическое сложение, операция, соединяющая два или более высказываний при помощи связки «или» (например, «А или В» ), которая символически обозначается с помощью знака ∨ (А ∨ В) и читается: «А или В» . Для обозначения дизъюнкции применяются также следующие знаки: А + В; А or В; А | B . Пример логического сложения: «Число x делится на 3 или на 5». Это высказывание будет истинным, если выполняются оба условия или хотя бы одно из условий.
Таблица истинности операции имеет вид
| A | B | A ∨ B |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Высказывание А ∨ В ложно только тогда, когда оба высказывания — А и В ложны.
Геометрически логическое сложение можно представить следующим образом: если А, В — это некоторые множества точек, то А ∨ В — это объединение множеств А и В , т. е. фигура, объединяющая и квадрат, и круг.
4. Дизъюнкция строго-разделительная, сложение по модулю два — логическая операция, соединяющая два высказывания при помощи связки «или» , употребленной в исключающем смысле, которая символически обозначается с помощью знаков ∨ ∨ или ⊕ (А ∨ ∨ В, А ⊕ В ) и читается: «либо А, либо В» . Пример сложения по модулю два — высказывание «Этот треугольник тупоугольный или остроугольный». Высказывание истинно, если выполняется какое-то одно из условий.
Таблица истинности операции имеет вид
| А | В | А ⊕ B |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Высказывание А ⊕ В истинно только тогда, когда высказывания А и В имеют различные значения.
5. Импликация (лат. implisito — тесно связываю) — логическая операция, соединяющая два высказывания при помощи связки «если..., то» в сложное высказывание, которое символически обозначается с помощью знака → (А → В ) и читается: «если А, то В», «А влечет В», «из А следует В», «А имплицирует В» . Для обозначения импликации применяется также знак ⊃ (A ⊃ B). Пример импликации: «Если полученный четырехугольник квадрат, то около него можно описать окружность». Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием. Результат операции ложен только тогда, когда предпосылка есть истина, а следствие — ложь. Например, «Если 3 * 3 = 9 (А), то Солнце — планета (В)», результат импликации А → В — ложь.
Таблица истинности операции имеет вид
| А | В | А → В |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Для операции импликации справедливо утверждение, что из лжи может следовать все что угодно, а из истины — только истина.
6. Эквивалентность, двойная импликация, равнозначность (лат. aequalis — равный и valentis — имеющий силу) — логическая операция, позволяющая из двух высказываний А и В получить новое высказывание А ≡ В , которое читается: «А эквивалентно B» . Для обозначения эквивалентности применяются также следующие знаки: ⇔, ∼. Эта операция может быть выражена связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «равносильно» . Примером эквивалентности является высказывание: «Треугольник будет прямоугольным тогда и только тогда, когда один из углов равен 90 градусам».
Таблица истинности операции эквивалентности имеет вид
| А | В | А ∼ В |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Операция эквивалентности противоположна сложению по модулю два и имеет результат «истина» тогда и только тогда, когда значения переменных совпадают.
Зная значения простых высказываний, можно на основании таблиц истинности определить значения сложных высказываний. При этом важно знать, что для представления любой функции алгебры логики достаточно трех операций: конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
Приоритет выполнения логических операций следующий: отрицание («не» ) имеет самый высокий приоритет, затем выполняется конъюнкция («и» ), после конъюнкции — дизъюнкция («или» ).
С помощью логических переменных и логических операций любое логическое высказывание можно формализовать, т. е. заменить логической формулой. При этом элементарные высказывания, образующие составное высказывание, могут быть абсолютно не связаны по смыслу, но это не мешает определять истинность или ложность составного высказывания. Например, высказывание «Если пять больше двух (А ), то вторник всегда наступает после понедельника (В )» — импликация А → В , и результат операции в данном случае — «истина». В логических операциях смысл высказываний не учитывается, рассматривается только их истинность или ложность.
Рассмотрим, например, построение составного высказывания из высказываний А и В , которое было бы ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. В таблице истинности для операции сложения по модулю два находим: 1 ⊕ 1 = 0. А высказывание может быть, например, таким: «Этот мяч полностью красный или полностью синий». Следовательно, если утверждение А «Этот мяч полностью красный» — истина, и утверждение В «Этот мяч полностью синий» — истина, то составное утверждение — ложь, т. к. одновременно и красным, и синим мяч быть не может.
Примеры решения задач
Пример 1. Определить для указанных значений X значение логического высказывания ((X > 3) ∨ (X < 3)) → (X < 4) :
1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.
Решение. Последовательность выполнения операций следующая: сначала выполняются операции сравнения в скобках, затем дизъюнкция, и последней выполняется операция импликации. Операция дизъюнкции ∨ ложна тогда и только тогда, когда оба операнда ложны. Таблица истинности для импликации имеет вид
| A | B | A → B |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Отсюда получаем:
1) для X = 1:
((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;
2) для X = 12:
((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;
3) для X = 3:
((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.
Пример 2. Указать множество целых значений X, для которых истинно выражение ¬((X > 2) → (X > 5)) .
Решение. Операция отрицания применена ко всему выражению ((X > 2) → (X > 5)) , следовательно, когда выражение ¬((X > 2) → (X > 5)) истинно, выражение ((X > 2) →(X > 5)) ложно. Поэтому необходимо определить, для каких значений X выражение ((X > 2) → (X > 5)) ложно. Операция импликации принимает значение «ложь» только в одном случае: когда из истины следует ложь. А это выполняется только для X = 3; X = 4; X = 5.
Пример 3. Для каких из приведенных слов ложно высказывание ¬(первая буква гласная ∧ третья буква гласная) ⇔ строка из 4 символов? 1) асса; 2) куку; 3) кукуруза; 4) ошибка; 5) силач.
Решение. Рассмотрим последовательно все предложенные слова:
1) для слова асса получим: ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — высказывание истинно;
2) для слова куку получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — высказывание истинно;
3) для слова кукуруза получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 — высказывание ложно;
4) для слова ошибка получим: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 — высказывание истинно;
5) для слова силач получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 — высказывание ложно.
Под логическим выражением следует понимать такую запись, которая может принимать логическое значение «истина» или «ложь». При таком определении среди логических выражений необходимо различать:
Логические выражения могут включать в себя функции, алгебраические операции, операции сравнения и логические операции. В этом случае приоритет выполнения действий следующий:
В логическом выражении могут использоваться скобки, которые изменяют порядок выполнения операций.
Пример. Найти значение выражения:
$1 ≤ a ∨ A ∨ sin(π/a - π/b) < 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b > a + b ∨ A ∧ B)$ для а = 2, b = 3, A = истина, В = ложь.
Решение. Порядок подсчета значений:
1) b a + a b > a + b, после подстановки получим: 3 2 + 2 3 > 2 + 3, т. е. 17 > 2 + 3 = истина;
2) A ∧ B = истина ∧ ложь = ложь.
Следовательно, выражение в скобках равно (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = истина ∨ ложь = истина;
3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = истина;
4) sin(π/a - π/b) < 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.
После этих вычислений окончательно получим: истина ∨ А ∧ истина ∧ ¬В ∧ ¬истина.
Теперь должны быть выполнены операции отрицания, затем логического умножения и сложения:
5) ¬В = ¬ложь = истина; ¬истина = ложь;
6) A ∧ истина ∧ истина ∧ ложь = истина ∧ истина ∧ истина ∧ ложь = ложь;
7) истина ∨ ложь = истина.
Таким образом, результат логического выражения при заданных значениях— «истина».
Примечание. Учитывая, что исходное выражение есть, в конечном итоге, сумма двух слагаемых, и значение одного из них 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = истина, без дальнейших вычислений можно сказать, что результат для всего выражения тоже «истина».
Тождественные преобразования логических выражений
В алгебре логики выполняются основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений.
| Закон | Для ∨ | Для ∧ |
| Переместительный | A ∨ B = B ∨ A | A ∧ B = B ∧ A |
| Сочетательный | A ∨ (B ∨ C) = (B ∨ A) ∨ C | A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C |
| Распределительный | A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) | A ∨ B ∧ C = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) |
| Правила де Моргана | ${A ∨ B}↖{-}$ = $A↖{-} ∧ B↖{-}$ | ${A ∧ B}↖{-}$ = $A↖{-} ∨ B↖{-}$ |
| Идемпотенции | A ∨ A = A | A ∧ A = A |
| Поглощения | A ∨ A ∧ B = A | A ∧ (A ∨ B) = A |
| Склеивания | (A ∧ B) ∨ (A↖{-} ∧ B) = B | (A ∨ B) ∧ (A↖{-} ∨ B) = B |
| Операция переменной с ее инверсией | $A ∨ A↖{-}$ = 1 | $A ∧ A↖{-}$ = 0 |
| Операция с константами | A ∨ 0 = A A ∨ 1 = 1 |
A ∧ 1 = A A ∧ 0 = 0 |
| Двойного отрицания | $A↖{=}$ = A | |
Доказательства этих утверждений производят на основании построения таблиц истинности для соответствующих записей.
Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определенному виду путем использования основных законов алгебры логики. Под упрощением формулы , не содержащей операций импликации и эквивалентности, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая содержит либо меньшее по сравнению с исходной число операций, либо меньшее число переменных.
Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т. п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).
Рассмотрим на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул:
1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .
Для преобразования здесь можно применить закон идемпотенции, распределительный закон; операцию переменной с инверсией и операцию с константой.
2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1 .
Здесь для упрощения применяется закон поглощения.
3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .
При преобразовании применяются правило де Моргана, операция переменной с ее инверсией, операция с константой
Примеры решения задач
Пример 1. Найти логическое выражение, равносильное выражению A ∧ ¬(¬B ∨ C) .
Решение. Применяем правило де Моргана для В и С: ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C .
Получаем выражение, равносильное исходному: A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C .
Ответ: A ∧ B ∧ ¬C.
Пример 2. Указать значение логических переменных А, В, С, для которых значение логического выражения (A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B) ложно.
Решение. Операция импликации ложна только в случае, когд а из истинной посылки следует ложь. Следовательно, для заданного выражения посылка A ∨ B должна принимать значение «истина», а следствие, т. е. выражение B ∨ ¬C ∨ B , — «ложь».
1) A ∨ B — результат дизъюнкции — «истина», если хотя бы один из операндов — «истина»;
2) B ∨ ¬C ∨ B — выражение ложно, если все слагаемые имеют значение «ложь», т. е. В — «ложь»; ¬C — «ложь», а следовательно, переменная С имеет значение «истина»;
3) если рассмотреть посылку и учесть, что В — «ложь», то получим, что значение А — «истина».
Ответ: А — истина, В — ложь, С — истина.
Пример 3. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание (35
Решение. Запишем таблицу истинности для операции импликации:
| A | B | A → B |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Выражение X < (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.
Ответ: X = 5.
Использование логических выражений для описания геометрических областей
Логические выражения могут быть использованы для описания геометрических областей. В этом случае задача формулируется так: записать для заданной геометрической области такое логическое выражение, которое принимает значение «истина» для значений x, y тогда и только тогда, когда любая точка с координатами (x; y) принадлежит геометрической области.
Рассмотрим описание геометрической области с помощью логического выражения на примерах.
Пример 1. Задано изображение геометрической области. Записать логическое выражение, описывающее множество точек, принадлежащих ей.
1) 
.
Решение. Заданную геометрическую область можно представить в виде набора следующих областей: первая область — D1 — полуплоскость ${x}/{-1} +{y}/{1} ≤ 1$, вторая — D2 — круг с центром в начале координат $x^2 + y^2 ≤ 1$. Их пересечение D1 $∩$ D2 представляет собой искомую область.
Результат: логическое выражение ${x}/{-1}+{y}/{1} ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.
2) 
Эту область можно записать так: |x| ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1 .
Примечание. При построении логического выражения используются нестрогие неравенства, а это значит, что границы фигур также принадлежат заштрихованной области. Если использовать строгие неравенства, то границы учитываться не будут. Границы, не принадлежащие области, обычно изображаются пунктиром.
Можно решить обратную задачу, а именно: нарисовать область для заданного логического выражнения.
Пример 2. Нарисовать и заштриховать область, для точек которой выполняется логическое условие y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y < 2 .
Решение. Искомая область представляет собой пересечение трех полуплоскостей. Строим на плоскости (x, y) прямые y = x; y = -x; y = 2. Это границы области, причем последняя граница y = 2 не принадлежит области, поэтому ее наносим пунктирной линией. Для выполнения неравенства y ≥ x нужно, чтобы точки находились слева от прямой y = x, а неравенство y = -x выполняется для точек, которые находятся справа от прямой y = -x. Условие y < 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:
Использование логических функций для описания электрических схем
Логические функции очень удобны для описания работы электрических схем. Так, для схемы, представленной на рис., где значение переменной X — это состояние выключателя (если он включен, значение X — «истина», а если выключен — «ложь»), это значение Y — это состояние лампочки (если она горит — значение «истина», а если нет — «ложь»), логическая функция запишется так: Y = X . Функцию Y называют функцией проводимости.
Для схемы, представленной на рис., логическая функция Y имеет вид: Y = X1 ∪ X2, т. к. достаточно одного включенного выключателя, чтобы горела лампочка. В схеме на рис., для того чтобы горела лампочка, должны быть включены оба выключателя, следовательно, функция проводимости имеет вид: Y = X1 ∧ X2 .
Для более сложной схемы функция проводимости будет иметь вид: Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).
Схема также может содержать контакты на замыкание. В этом случае размыкаемый контакт как выключатель обеспечивает загорание лампочки, когда кнопка отпущена, а не нажата. Для таких схем размыкающий выключатель описывается отрицанием.
Две схемы называются равносильными , если через одну из них ток проходит тогда, когда он проходит и через другую. Из двух равносильных схем более простой считается схема, функция проводимости которой содержит меньшее число элементов. Задача нахождения наиболее простых схем среди равносильных очень важна.
Использование аппарата алгебры логики при проектировании логических схем
Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера. Любая информация при обработке на компьютере представляется в двоичной форме, т. е. кодируется некоторой последовательностью 0 и 1. Обработку двоичных сигналов, соответствующих 0 и 1, выполняют в компьютере логические элементы. Логические элементы, которые выполняют основные логические операции И, ИЛИ, НЕ, представлены на рис.
Условные обозначения логических элементов являются стандартными и используются при составлении логических схем компьютера. С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу компьютера.
Технически компьютерный логический элемент реализуется в виде электрической схемы, которая представляет собой соединение различных деталей: диодов, транзисторов, резисторов, конденсаторов. На вход логического элемента, который называют также вентилем, поступают электрические сигналы высокого и низкого уровней напряжения, на выход выдается один выходной сигнал также либо высокого, либо низкого уровня. Эти уровни соответствуют одному из состояний двоичной системы: 1 — 0; ИСТИНА — ЛОЖЬ. Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем. Работу логических схем описывают с помощью таблиц истинности. Условное обозначение на схеме ИЛИ знак «1» — от устаревшего обозначения дизъюнкции как «>=1» (значение дизъюнкции равно 1, если сумма двух операндов больше или равна 1). Знак «&» на схеме И является сокращенной записью английского слова and.
Из логических элементов составляются электронные логические схемы, выполняющие более сложные логические операции. Набор логических элементов, состоящий из элементов НЕ, ИЛИ, И, с помощью которых можно построить логическую структуру любой сложности, называется функционально полным .
Построение таблиц истинности логических выражений
Для логической формулы всегда можно записать таблицу истинности , т. е. представить заданную логическую функцию в табличном виде. В этом случае таблица должна содержать все возможные комбинации аргументов функции (формулы) и соответствующие значения функции (результаты формулы на заданном наборе значений).
Удобной формой записи при нахождении значений функции является таблица, содержащая, кроме значений переменных и значений функции, также значения промежуточных вычислений. Рассмотрим пример построения таблицы истинности для формулы ${X1}↖{-} ∧ X2 ∨ {X1 ∨ X2}↖{-} ∨ X1$.
| X1 | X2 | ${X1}↖{-}$ | ${X1}↖{-}$ \ X2 | X1 ∧ X2 | ${X1 ∨ X2}↖{-}$ | ${X1}↖{-}$ ∧ X2 ∨ ${X1 ∨ X2}↖{-}$ | ${X1}↖{-}$ ∧ X2 ∨ ${X1 ∨ X2}↖{-}$ ∨ X1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Если функция принимает значение 1 при всех наборах значений переменных, она является тождественно-истинной ; если при всех наборах входных значений функция принимает значение 0, она является тождественно-ложной ; если набор выходных значений содержит как 0, так и 1, функция называется выполнимой . Приведенный выше пример является примером тождественно-истинной функции.
Зная аналитическую форму логической функции, всегда можно перейти к табличной форме логических функций. С помощью заданной таблицы истинности можно решить обратную задачу, а именно: для заданной таблицы построить аналитическую формулу логической функции. Различают две формы построения аналитической зависимости логической функции по таблично заданной функции.
1. Дизъюнктивно нормальная форма (ДНФ) — сумма произведений, образованных из переменных и их отрицаний для ложных значений.
Алгоритм построения ДНФ следующий:
Пример. Построить функцию, определяющую, что первое число равно второму, используя метод ДНФ. Таблица истинности функции имеет вид
| X1 | X2 | F(X1, X2) |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Решение. Выбираем наборы значений аргументов, в которых функция равна 1. Это первая и четвертая строки таблицы (строку заголовка при нумерации не учитываем).
Записываем логические произведения аргументов этих наборов, объединив их логической суммой: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 .
Записываем отрицание относительно аргументов выбранных наборов, имеющих ложное значение (четвертая строка таблицы; второй набор в формуле; первый и второй элементы): X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ ${X2}↖{-}$.
Ответ: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ ${X2}↖{-}$.
2. Конъюнктивно нормальная форма (КНФ) — произведение сумм, образованных из переменных и их отрицаний для истинных значений.
Алгоритм построения КНФ следующий:
Примеры решения задач
Пример 1. Рассмотрим предыдущий пример, т. е. построим функцию, определяющую, что первое число равно второму, используя метод КНФ. Для заданной функции ее таблица истинности имеет вид
| X1 | X2 | F(X1, X2) |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Решение. Выбираем наборы значений аргументов, в которых функция равна 0. Это вторая и третья строки (строку заголовка при нумерации не учитываем).
Записываем логические суммы аргументов этих наборов, объединив их логическим произведением: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2 .
Записываем отрицание относительно аргументов выбранных наборов, имеющих истинное значение (вторая строка таблицы, первый набор формулы, второй элемент; для третьей строки, а это второй набор формулы, первый элемент): X1 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ X2.
Таким образом, получена запись логической функции в КНФ.
Ответ: X1 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ X2.
Полученные двумя методами значения функций являются эквивалентными. Для доказательства этого утверждения используем правила логики: F(X1, X2) = X1 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ X2 = X1 ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ ${X2}↖{-}$.
Пример 2 . Построить логическую функцию для заданной таблицы истинности:
Искомая формула: X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ X2 .
Ее можно упростить: X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ ${X1}↖{-}$) = X2 ∧ 1 = X2.
Пример 3. Для приведенной таблицы истинности построить логическую функцию, используя метод ДНФ.
| X1 | X2 | X3 | F(X1, X2, X3) | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | X1 ∧ X2 ∧ X3 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | ||
| 0 | 1 | 1 | 1 | ${X1}↖{-}$ ∧ X2 ∧ X3 | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 0 | 1 | X1 ∧ X2 ∧ ${X3}↖{-}$ | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | X1 ∧ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X3}↖{-}$ | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Искомая формула: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ ${X3}↖{-}$ ∪ X1 ∧ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X3}↖{-}$.
Формула достаточно громоздка, и ее следует упростить:
X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ ${X3}↖{-}$ ∨ X1 ∧ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X3}↖{-}$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ ${X1}↖{-}$) ∨ X1 ∧ ${X3}↖{-}$ ∧ (X2 ∨ ${X2}↖{-}$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ ${X3}↖{-}$.
Таблицы истинности для решения логических задач
Составление таблиц истинности — один из способов решения логических задач. При использовании такого способа решения, условия, которые содержит задача, фиксируются с помощью специально составленных таблиц.
Примеры решения задач
Пример 1. Составить таблицу истинности для охранного устройства, которое использует три датчика и срабатывает при замыкании только двух из них.
Решение. Очевидно, что результатом решения будет таблица, в которой искомая функция Y(X1, X2, X3) будет иметь значение «истина», если какие-либо две переменные имеют значение «истина».
| X1 | X2 | X3 | Y(X1, X2, X3) |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Пример 2. Составить расписание уроков на день, учитывая, что урок информатики может быть только первым или вторым, урок математики — первым или третьим, а физики — вторым или третьим. Возможно ли составить расписание, удовлетворив всем требованиям? Сколько существует вариантов расписания?
Решение. Задача легко решается, если составить соответствующую таблицу:
| 1-й урок | 2-й урок | 3-й урок | |
| Информатика | 1 | 1 | 0 |
| Математика | 1 | 0 | 1 |
| Физика | 0 | 1 | 1 |
Из таблицы видно, что существуют два варианта искомого расписания:
Пример 3. В спортивный лагерь приехали трое друзей — Петр, Борис и Алексей. Каждый из них увлекается двумя видами спорта. Известно, что таких видов спорта шесть: футбол, хоккей, лыжи, плавание, теннис, бадминтон. Также известно, что:
Какими видами спорта увлекается каждый из мальчиков?
Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.
Так как видов спорта шесть, получается, что все мальчики увлекаются разными видами спорта.
Из условия 4 следует, что Борис не увлекается ни лыжами, ни теннисом, а из условий 3 и 5, что Петр не умеет играть в футбол, хоккей, теннис и бадминтон. Следовательно, любимые виды спорта Петра — лыжи и плавание. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов «Лыжи» и «Плавание» заполним нулями.
Из таблицы видно, что в теннис может играть только Алексей.
Из условий 1 и 2 следует, что Борис не футболист. Таким образом, в футбол играет Алексей. Продолжим заполнять таблицу. Внесем в пустые ячейки строки «Алексей» нули.
Окончательно получаем, что Борис увлекается хоккеем и бадминтоном. Итоговая таблица будет выглядеть следующим образом:
Ответ: Петр увлекается лыжами и плаванием, Борис играет в хоккей и бадминтон, а Алексей занимается футболом и теннисом.
1.1. Обозначения для логических связок (операций):
a) отрицание (инверсия, логическое НЕ) обозначается ¬ (например, ¬А);
b) конъюнкция
(логическое умножение, логическое И) обозначается /\
(например, А /\ В) либо & (например, А & В);
c) дизъюнкция
(логическое сложение, логическое ИЛИ) обозначается \/
(например, А \/ В);
d) следование (импликация) обозначается → (например, А → В);
e) тождество обозначается ≡ (например, A ≡ B). Выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны);
f) символ 1 используется для обозначения истины (истинного высказывания); символ 0 – для обозначения лжи (ложного высказывания).
1.2. Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А /\ В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).
1.3. Приоритеты логических операций: инверсия (отрицание), конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение), импликация (следование), тождество. Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и
((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).
Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.
Приведенный ниже список НЕ претендует на полноту, но, надеемся, достаточно представителен.
2.1. Общие свойства
2.2.Дизъюнкция
2.3. Конъюнкция
2.4. Простые дизъюнкции и конъюнкции
Назовем (для удобства) конъюнкцию простой , если подвыражения, к которым применяется конъюнкция, – различные переменные или их отрицания. Аналогично, дизъюнкция называется простой , если подвыражения, к которым применяется дизъюнкция, – различные переменные или их отрицания.
2.5. Импликация
В этой статье будет рассмотрена история информатики как науки, также разберемся в том, чем она занимается, и в ее основных направлениях.
Современный мир очень сложно представить без информационных и цифровых технологий. Все они значительно облегчают жизнь, благодаря им человечество совершило ряд значительных прорывов в науке и промышленности. Рассмотрим более подробно дисциплины информатики и историю ее становления как науки.
Информатика - это наука, которая занимается исследованием методов сбора, обработки, хранения, передачи и анализа информации с применением различных компьютерных и цифровых технологий, а также изучением возможностей их применения.
Она включает в себя дисциплины, которые имеют отношение к обработке и расчету информации с применением различного рода вычислительных машин и сетей. Причем как абстрактные, вроде анализа алгоритмов, так и конкретные, к примеру, разработка новых методов компрессии данных, протоколов обмена информации и языков программирования.
Как видим, информатика - это наука, которая отличается широтой исследовательских тем и направлений. В качестве примера можно привести следующие вопросы и задачи: что реально, а что невозможно реализовать в программах (искусственный интеллект, самообучение компьютеров и т. п), как решать различного рода специфические информационные задачи максимально эффективно (так называемая теория сложности вычислений), в каком виде следует сохранять информацию и восстанавливать ее, как наиболее эффективно люди должны взаимодействовать с программами (вопросы пользовательского интерфейса, новых языков программирования и т. п).
Теперь же кратко рассмотрим развитие информатики как науки, начиная с ее истоков.
Информатика - это молодая наука, которая возникала постепенно и наиболее сильное развитие получила во второй половине XX века. Очень важна она и в наше время, когда практически весь мир зависим от компьютерных и иных электронных вычислительных технологий.
Началось же все с середины XIX века, когда разными учеными были созданы механические калькуляторы и «аналитические машины». В 1834 году Чарльз Бэббидж начал разработку программируемого калькулятора, и, кстати, именно он впоследствии сформулировал множество основных черт и принципов современного компьютера. Также именно он предложил использовать перфокарты, которые затем были в употреблении вплоть до конца 80-x годов XX века.
В 1843 году Ада Лавлейс создала алгоритм для вычисления чисел Бернулли, и это считается первой в истории компьютерной программой.
Примерно в 1885 году Герман Холлерит создал табулятор - устройство для считывания данных с перфокарт. А в 1937 году, спустя почти сто лет после идей и мечты Бэббиджа, компания IBM создала первый программируемый калькулятор.
В начале 1950-х годов всем стало ясно, что компьютер можно использовать в различных сферах науки и промышленности, а не только как инструмент для математических расчетов. И что только зарождавшаяся тогда информатика - это наука, за которой будущее. А чуть позже она получила статус официальной науки.
Теперь же кратко рассмотрим ее структуру.
Структура информатики многогранна. Как дисциплина, она охватывает широкий круг тем. Начиная от теоретического исследования различного рода алгоритмов и заканчивая практическим воплощением в жизнь отдельных программ или же созданием вычислительных и цифровых устройств.
На данный момент различают несколько основных ее направлений, которые, в свою очередь, делятся на множество ответвлений. Рассмотрим самые основные:
Как видим, информатика - это наука, изучающая ряд очень важных теоретических вопросов, к примеру, создание искусственного интеллекта или разработка решений для каких-то математических задач.
Информа́тика (фр. Informatique; англ. Computer science) - наука о методах и процессах сбора, хранения, обработки, передачи, анализа и оценки информации с применением компьютерных технологий, обеспечивающих возможность её использования для принятия решений.
Истори́ческая информа́тика - междисциплинарная область исторических исследований, целью которой является расширение информационного, методического и технологического обеспечения исторической науки, а также апробация новых информационных технологий и методов в конкретно-исторических исследованиях. В основе исторической информатики лежит совокупность теоретических и прикладных знаний, необходимых для создания, обработки и анализа оцифрованных исторических источников всех видов,.
Правова́я информа́тика - область в рамках информационной науки. Эрделез и О’Хара (1997) определяют правовую информатику следующим образом...
Теоретическая информатика - это научная область, предметом изучения которой являются информация и информационные процессы, в которой осуществляется изобретение и создание новых средств работы с информацией. Это подразделение общей информатики и математики, которое сосредотачивается на более абстрактных или математических аспектах вычислительной техники и включает в себя теорию алгоритмов.
Искусственный интеллект и закон (ИИ и закон) - подобласть искусственного интеллекта (ИИ), в основном касающаяся приложений ИИ к проблемам правовой информатики и оригинальных исследований по этим проблемам. Другое направление - перенос инструментов и методов, разработанных в контексте решения правовых задач, на сферу искусственного интеллекта в целом. Например, теории правовых решений, особенно модели аргументации, способствовали развитию представления знаний и рассуждений; модели социальной организации...
Подробнее:
