На рисунке 1 показаны два треугольника. Треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1. И прилежащие стороны пропорциональны, то есть AB относится к A1B1 также как AC относится к A1C1. Их этих двух условий и следует подобие треугольников.
На рисунке 2 показаны прямые a и b, секущая c. При этом образуются 8 углов. Углы 1 и 5 соответственные, если прямые параллельны, то соответственные углы равны, и наоборот.
На рисунке 3, M середина AB, а N середина AC, BC основание. Отрезок MN — называется средней линии треугольника. Сама же теорема гласит — Средняя линия треугольника параллельная основанию и равна его половине.
Для того чтобы доказать, что MN — средняя линия треугольника, нам понадобится второй признак подобия треугольников и признак параллельности прямых.
Треугольник AMN подобен треугольнику ABC, по второму признаку. В подобных треугольниках соответственные углы равны, угол 1 равен углу 2, а эти углы являются соответственными при пересечении двух прямых секущей, следовательно, прямые параллельны, MN параллельно BC. Угол A общий, AM/AB = AN/AC = ½
Коэффициент подобия этих треугольников ½, из этого следует что ½ = MN/BC, MN = ½ BC
Вот мы и нашли среднюю линию треугольника, и доказали теорему о средней линии треугольника, если вам до сих пор не понятно, как найти среднюю линию, смотрите видео ниже.
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины 2-х его сторон. Соответственно, каждого у треугольника три средних линии. Зная качество средней линии, а также длины сторон треугольника и его углы, дозволено обнаружить длину средней линии.
Вам понадобится
1. Пускай в треугольнике ABC MN — средняя линия, соединяющая середины сторон AB (точка M) и AC (точка N).По свойству средняя линия треугольника, соединяющая середины 2-х сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, средняя линия MN будет параллельна стороне BC и равна BC/2.Следственно, для определения длины средней линии треугольника довольно знать длину стороны именно этой третьей стороны.
2. Пускай сейчас вестимы стороны, середины которых соединяет средняя линия MN, то есть AB и AC, а также угол BAC между ними. Потому что MN — средняя линия, то AM = AB/2, а AN = AC/2.Тогда по теореме косинусов объективно: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM*AN*cos(BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Отсель, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).
3. Если знамениты стороны AB и AC, то среднюю линию MN дозволено обнаружить, зная угол ABC либо ACB. Пускай, скажем, знаменит угол ABC. Потому что по свойству средней линии MN параллельна BC, то углы ABC и AMN — соответствующие, и, следственно, ABC = AMN. Тогда по теореме косинусов: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Следственно, сторону MN дозволено обнаружить из квадратного уравнения (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.
Квадратный треугольник больше верно именуется прямоугольным треугольником. Соотношения между сторонами и углами этой геометрической фигуры детально рассматриваются в математической дисциплине тригонометрии.
Вам понадобится
1. Обнаружьте сторону прямоугольного треугольника с поддержкой теоремы Пифагора. Согласно этой теореме, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с2 = a2+b2 , где с – гипотенуза треугольника , a и b – его катеты. Дабы применить это уравнение, надобно знать длину всяких 2-х сторон прямоугольного треугольника .
2. Если по условиям заданы размеры катетов, разыщите длину гипотенузы. Для этого с поддержкой калькулятора извлеките квадратный корень из суммы катетов, всякий из которых заранее возведите в квадрат.
3. Вычислите длину одного из катетов, если вестимы размеры гипотенузы и иного катета. При помощи калькулятора извлеките квадратный корень из разности гипотенузы в квадрате и вестимого катета, также возведенного в квадрат.
4. Если в задаче заданы гипотенуза и один из прилежащих к ней острых углов, используйте таблицы Брадиса. В них приведены значения тригонометрических функций для большого числа углов. Воспользуйтесь калькулятором с функциями синуса и косинуса, а также теоремами тригонометрии, которые описывают соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника .
5. Обнаружьте катеты при помощи основных тригонометрических функций: a = c*sin ?, b = c*cos ?, где а – катет, противолежащий к углу?, b – катет, прилежащий к углу?. Сходственным образом посчитайте размер сторон треугольника , если заданы гипотенуза и иной острый угол: b = c*sin ?, a = c*cos ?, где b – катет, противолежащий к углу?, а – катет, прилежащий к углу?.
6. В случае, когда вестим катет a и прилежащий к нему острый угол?, не забывайте, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов неизменно равна 90°: ? + ? = 90°. Разыщите значение угла, противолежащего к катету а: ? = 90° – ?. Либо воспользуйтесь тригонометрическими формулами приведения: sin ? = sin (90° – ?) = cos ?; tg ? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg ?.
7. Если вестим катет а и противолежащий к нему острый угол?, при помощи таблиц Брадиса, калькулятора и тригонометрических функций вычислите гипотенузу по формуле: c=a*sin ?, катет: b=a*tg ?.
Видео по теме
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины 2-х его сторон. Соответственно, каждого у треугольника три средних линии. Зная качество средней линии, а также длины сторон треугольника и его углы, дозволено обнаружить длину средней линии.
Вам понадобится
1. Пускай в треугольнике ABC MN – средняя линия, соединяющая середины сторон AB (точка M) и AC (точка N).По свойству средняя линия треугольника, соединяющая середины 2-х сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, средняя линия MN будет параллельна стороне BC и равна BC/2.Следственно, для определения длины средней линии треугольника довольно знать длину стороны именно этой третьей стороны.
2. Пускай сейчас вестимы стороны, середины которых соединяет средняя линия MN, то есть AB и AC, а также угол BAC между ними. Потому что MN – средняя линия, то AM = AB/2, а AN = AC/2.Тогда по теореме косинусов объективно: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM*AN*cos(BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Отсель, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).
3. Если знамениты стороны AB и AC, то среднюю линию MN дозволено обнаружить, зная угол ABC либо ACB. Пускай, скажем, знаменит угол ABC. Потому что по свойству средней линии MN параллельна BC, то углы ABC и AMN – соответствующие, и, следственно, ABC = AMN. Тогда по теореме косинусов: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Следственно, сторону MN дозволено обнаружить из квадратного уравнения (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.
Квадратный треугольник больше верно именуется прямоугольным треугольником. Соотношения между сторонами и углами этой геометрической фигуры детально рассматриваются в математической дисциплине тригонометрии.
Вам понадобится
1. Обнаружьте сторону прямоугольного треугольника с поддержкой теоремы Пифагора. Согласно этой теореме, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с2 = a2+b2 , где с – гипотенуза треугольника , a и b – его катеты. Дабы применить это уравнение, надобно знать длину всяких 2-х сторон прямоугольного треугольника .
2. Если по условиям заданы размеры катетов, разыщите длину гипотенузы. Для этого с поддержкой калькулятора извлеките квадратный корень из суммы катетов, всякий из которых заранее возведите в квадрат.
3. Вычислите длину одного из катетов, если вестимы размеры гипотенузы и иного катета. При помощи калькулятора извлеките квадратный корень из разности гипотенузы в квадрате и вестимого катета, также возведенного в квадрат.
4. Если в задаче заданы гипотенуза и один из прилежащих к ней острых углов, используйте таблицы Брадиса. В них приведены значения тригонометрических функций для большого числа углов. Воспользуйтесь калькулятором с функциями синуса и косинуса, а также теоремами тригонометрии, которые описывают соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника .
5. Обнаружьте катеты при помощи основных тригонометрических функций: a = c*sin ?, b = c*cos ?, где а – катет, противолежащий к углу?, b – катет, прилежащий к углу?. Сходственным образом посчитайте размер сторон треугольника , если заданы гипотенуза и иной острый угол: b = c*sin ?, a = c*cos ?, где b – катет, противолежащий к углу?, а – катет, прилежащий к углу?.
6. В случае, когда вестим катет a и прилежащий к нему острый угол?, не забывайте, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов неизменно равна 90°: ? + ? = 90°. Разыщите значение угла, противолежащего к катету а: ? = 90° – ?. Либо воспользуйтесь тригонометрическими формулами приведения: sin ? = sin (90° – ?) = cos ?; tg ? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg ?.
7. Если вестим катет а и противолежащий к нему острый угол?, при помощи таблиц Брадиса, калькулятора и тригонометрических функций вычислите гипотенузу по формуле: c=a*sin ?, катет: b=a*tg ?.
Видео по теме
Как найти середину треугольника: задачка по геометрии. Основные элементарные задачи по Евклидовой геометрии пришли к нам из античности. В них заключается сама первичная сущность и необходимые базовые знания о восприятии человеком пространственных форм. Одной из таких задач является проблема нахождения середины треугольника. Сегодня эта задачка рассматривается как учебный прием развития интеллектуальных способностей школьников. В древнем же мире, знание того, как найти середину треугольника, применялось и на практике: в землеустройстве, при изготовлении разнообразных механизмов и т.д. В чем же состоит сущность этого геометрического ребуса?
Что такое медиана? Перед решением задачи необходимо ознакомиться с простейшей геометрической терминологией, касающейся треугольников. Прежде всего, у каждого треугольника есть три вершины, три стороны и три угла, от чего и происходит название данной геометрической фигуры. Важно знать, как называются линии, соединяющие вершины с противоположными сторонами: высота, биссектриса и медиана.
Высота − линия перпендикулярная стороне, противоположной вершине, из которой она проводится; биссектриса − делит угол пополам; медиана же делит противоположную исходящей вершине сторону пополам. Для решения этой задачи нужно знать, как найти координаты середины отрезка, ведь именно точка пересечения медиан треугольника и является его серединой.
Находим середины сторон треугольника. Нахождение середины отрезка тоже является классической геометрической задачей, для решения которой понадобится циркуль и линейка без делений. Ставим иглу циркуля в точку окончания отрезка и чертим полукруг, больший половины отрезка в середине последнего. Проделываем то же самое с другой стороны отрезка. Полученные полуокружности обязательно пересекутся в двух точках, ведь их радиусы больше половины исходного отрезка.
Соединяем две точки пересечения окружности прямой линией при помощи линейки. Эта линия пересекает исходный отрезок точно в его середине. Теперь, зная то, как найти середину отрезка, проделываем это с каждой стороной треугольника. После нахождения всех середин сторон треугольника всё готово для построения его собственной середины.
Строим середину треугольника. Соединив прямыми линиями вершины треугольника с серединами противоположных им сторон, получаем три медианы. Может кого-то это и удивит, но одним из законов гармонии этой геометрической фигуры является то, что все три медианы всегда пересекаются в одной точке. Именно эта точка и будет искомой серединой треугольника, которую не так трудно найти, если знать;как построить середину отрезка.
Интересно и то, что точка пересечения медиан представляет собой не только геометрическую, но и "физическую" середину треугольника. То есть, если, к примеру, вырезать треугольник из фанеры, найти его середину и поместить эту точку на кончик иглы, то в идеале такая фигура будет балансировать и не упадет. Элементарная геометрия несет в себе множество подобных захватывающих "тайн", знание которых помогает постигать гармонию окружающего мира и природу более сложных вещей.
Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией .
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями , а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами . Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Средняя линия - это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
Теорема:
Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.
Теорема:
Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований
MN || AB || DCMN средняя линия, AB и CD - основания, AD и BC - боковые стороны
MN = (AB + DC)/2
Теорема:
Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.
Основная задача : Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема
: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.
AM = MC and BN = NC
=>
Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2
В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
.jpg)