Множество действительных чисел можно описать как множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей. Все конечные и бесконечные десятичные периодические дроби – это рациональные числа, а бесконечные десятичные непериодические дроби – иррациональные числа. Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой каждая точка М координатной прямой имеет действительную координату. 2+2=? 2+2=4
Проведем прямую и отметим на ней точку О, которую примем за начало отсчета. Выберем направление и единичный отрезок. Говорят, что задана координатная прямая. Каждому натуральному числу соответствует одна единственная точка на координатной прямой. Пусть на отрезке координатной прямой находится точка М(х).Разделим отрезок на 10равных частей (сегменты 1-ого ранга). Предположим, что М Δ4, то есть х=0,4....Разделим Δ4 на 10 сегментов 2-ого ранга. Предположим, что М Δ40. То есть х=0, Δ0 Δ1 Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Δ6 Δ7 Δ8 Δ9 М(х) Δ40
Координатная прямая или числовая прямая, есть геометрическая модель множества действительных чисел. Для действительных чисел a, b, с выполняются привычные законы: 1)a+b=b+a 2)a*b=b*a 3)a+(b+c)=(a+b)+с 4)a*(b*c)=(a*b)*c 5)(a+b)*c=a*c+b*c а так же и привычные правила: Частное 2-ух положительных чисел – положительное число.
Слайд 2
Числовые множества.
Слайд 3
Натуральные числа-это числа счета. N={1,2,…n,…}. Заметим, что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения, т.е. сложение и умножение выполняются всегда, а вычитание и деление в общем случае не выполняются
Слайд 4
Введем в рассмотрение новые числа: 1) число 0 (ноль), 2) число (-n), противоположное натуральному n. При этом полагаем: n+(-n)=(-n)+n=0, -(-n)=n. Тогда множество целых чисел можно записать так: Z ={…,-n,…-2,-1,0,1,2,…,n,…}. Заметим также, что: Это множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения, т.е. Из множества целых чисел выделим два подмножества: 1) множество четных чисел 2) множество несетных чисел
Слайд 5
В общем случае действие деления в множестве целых чисел не выполняется, но известно, что деление с остатком можно выполнить всегда, кроме деления на 0. Определение деления с остатком. Говорят, что целое число m делится на целое число n с остатком, если найдутся два числа q и p, такие что: (*) Хорошо известен алгоритм деления с остатком. Замечание: если r=0, то будем говорить, что m делится нацело на n. m=nq+r, где 0≤r
Слайд 6
Разделить с остатком m на n. 1). m=190, n=3 190 3 18 6 3 10 9 1 q=63, r=1, 1 q=2, r=3 (3 q=-4, r=1 -15=4*(-4)+1 4). M=6, n=13 По формуле(*): 6=13q+r =>q=0, r=6 6=13*0+6
Слайд 7
Множество рациональных чисел можно представить в виде: В частности, Таким образом, Множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме случая деления на 0).
Слайд 8
Но в множестве рациональных чисел нельзя, например, измерить гипотенузу прямоугольного треугольника с катетам. По теореме Пифагора гипотенуза будет равна.Но число не будет рациональным, так как ни для каких mи n. Нельзя решить уравнение. Нельзя измерить длину окружности и т.д. Заметим, что всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Слайд 9
Числа, которые представляются бесконечной непериодической дробью, будем называть иррациональными. Множество иррациональных чисел обозначим Для иррациональных чисел нет единой формы обозначения. Отметим два иррациональных числа, которые обозначаются буквами – это числа и е.
Слайд 10
Отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная, равная числу d
Слайд 11
Если рассмотреть числовую последовательность: с общим членом последовательности то с ростом п значения будут возрастать, но никогда не будет больше 3. Это означает, что последовательность ограничена. Такая последовательность имеет предел, который равен числу е.
Слайд 12
Известно, что мощность иррациональных чисел больше мощности рациональных, т.е. Иррациональных чисел «больше», чем рациональных. Кроме того, как бы ни были близки два рациональных числа, между ними всегда есть иррациональное, т.е. Примеры иррациональных чисел: (золотое сечение) и т.д.
Пояснительная записка к ресурсу
«Действительные числа и действия над ними» (первый урок в 10 классе)
Автор –
учитель математики Быстрых Валентина Николаевна
Образовательное учреждение –
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 8» г. Красновишерска, Пермского края.
Предмет алгебра и начала анализа
Класс – 10
Тема – « Действительные числа и действия над ними» (первый урокв 10 классе)
Учебно-методическое обеспечение:
Алгебра им начала анализа: А.П. Иванов «Тесты и контрольные работы по математике», Москва, МФТИ, 2002
Время реализации занятия – 90 минут
Оборудование и материалы для урока : проектор, экран (, презентация для сопровождения урока.
Структура урока :
Урок повторения и обобщения знаний, полученных в основной школе.
Презентация состоит из 15 слайдов.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Действительные числа и п реобразования алгебраических выражений
Цель урока: Повторяем Различаем Развиваем Оцениваем
Дома: теория (10) (3)
Натуральные числа (N) – единица или собрание нескольких единиц (1; 2;…9 – ряд натуральных чисел) Целые числа (Z) – н атуральные числа, противоположные натуральным и нуль Рациональные числа (Q) - ц елые числа, положительные и отрицательные дробные Действительные числа (R) – р ациональные и иррациональные числа Иррациональные числа (||) – бесконечные не периодические дроби
Натуральные числа (N) Простые - делятся на себя и на единицу Четные - делящиеся на 2 и число 0. (2п) Нечетные – остальные (2п+1; 2п-1). Признаки делимости: На 2 - На 3 - На 5 - На 9 - На 10 - Любое составное число можно разложить на простые множители Задание: разложить на простые множители числа; 1260; 248; 4725 Найти НОК и НОД чисел (54; 72;) ;(96; 124)(125; 325); (34; 68) Составные – остальные.
Рациональные числа (Q) Доля(часть) единицы или собрание нескольких одинаковых долей единицы называется обыкновенной дробью Дробь, у которой знаменатель есть единица с одним или несколькими нулями, называется десятичной дробью 2/3 = 0,666… – бесконечная периодическая дробь, 0,666…= 0,(6) 0,(68) – чистая периодическая дробь 1, 4(35) – смешанная периодическая дробь
Правило перевода смешанной периодической дроби в обыкновенную Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, нужно ее период сделать числителем, а в знаменателе записать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде. Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную, нужно из числа, стоящего после запятой до второго периода, вычесть число, стоящее после запятой до первого периода, и эту разность сделать числителем, а в знаменатель записать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, со столькими нулями справа, сколько цифр между запятой и первым периодом.
1 2 4 3 9 10 11 12 13 14
5 6 7 9 10 11 12 13 14
11 10 9 8 9 10 11 12 13 14
9 10 11 12 13 14
9 10 11 12 13 14
15 14 13 12 9 10 11 12 13 14
Тип урока: усвоение новых знаний
Планируемые образовательные результаты.
Предметные: знать понятие «действительные числа», систематизировать и развить знания учащихся о различных числовых множествах. Ввести понятия о десятичной периодической и непериодической десятичной дроби, рациональных, иррациональных и действительных числах; установить связи между ними.
Личностные: формированиеответственного отношения к успешной учебной деятельности.
Метапредметные:
Оборудование: интерактивная доска, презентация «Действительные числа» , раздаточный материал.
Учебник: «Алгебра 8 класс», учебник для общеобразовательных учреждений Ш.А Алимов, Ю.А. Колягин и др. М.: Просвещение, 2014г.
Этапы урока
1. Организационный этап.
2. Актуализация знаний учащихся.
3. Обобщение знаний о числовых множествах (проводится с помощью презентации «Действительные числа»)
4. Введение понятия иррационального числа и множества действительных чисел.
5. Решение примеров на запись обыкновенной дроби в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
6. Закрепление изученного. Тест (Приложение 1
)
7. Домашнее задание.
8. Рефлексия.
9. Итоги урока.
ХОД УРОКА
1 этап. Организационный
Мотивация учебной деятельности учащихся,
Постановка цели и задач урока (Презентация
. Слайды 1-2)
2. Актуализация знаний
Определение принадлежности чисел из данной группы тому или иному числовому множеству, известному учащимся. (Слайд 3)
Учитель оценивает выполнение задания, затем следует рассказ учителя о роли числа как формы мысли, отражающей в обобщенном виде свойства и отношения реальных предметов. Подчеркивается, что именно числа дают возможность считать предметы окружающего нас мира, измерять их и измеряя сравнивать.
«Числа существуют в сознании человека, эти «мысленные» создания образуют его знания и умения, являются могучими орудиями с помощью которых он создает все для себя и вокруг себя: материальную среду обитания, культуру и технику».
А. Дородницын
3. Обобщение знаний о числовых множествах
Исторические справки озвучиваются учащимися с помощью слайдов (4-9)
3.1 Натуральные числа (Слайд 4)
Название этих чисел произошло от слова «naturе» (лат.), то есть, природа.
Натуральные числа возникли много тысяч лет назад. Причиной их появления стала необходимость счета предметов. С помощью чисел человек, например, получил возможность пересчитать добычу охотников и правильно распределить ее между соплеменниками.
На первых стадиях развития человечества для счета использовались только два числа: 1 и 2. Шло время, человек стал привлекать для счета части своего тела: пальцы рук и ног, если таких цифр не хватало, то на помощь призывали родственников, соседей, знакомых.
Знаменитый путешественник Н.Н. Миклухо-Маклай в своей книге «Путешествия» так рассказывает об излюбленном способе счета папуасов Новой Гвинеи: «Загибая пальцы руки, папуас издает определенный звук, например, «бе, бе, бе», досчитав до пяти, он говорит «ибн-бе» - рука, далее продолжает считать до «ибн-али» (две руки), затем идет «самба-бе» - одна нога, «самба-али» - две ноги, а затем при необходимости привлекаются конечности кого-то другого». Так люди начинали учится считать, пользуясь тем, что им дала природа: собственной пятерней. Вот где кроются истоки высказывания «Знаю, как свои пять пальцев».
Вопрос: Какой способ записи чисел используется нами? Где и когда изобрели эту форму записи?
Учитель: Постепенно росли знания людей, увеличивалась потребность в умении считать и мерить все большими числами. Счет шел уже на сотни и тысячи, а запоминать большие числа трудно или невозможно. Какой выход из положения нашел человек, мы сейчас узнаем.
3.2. Как записывались числа (Слайды 5, 6)
Первым способом записи чисел стали зарубки на палке, именно таким календарем пользовался Робинзон Крузо, попав на необитаемый остров.
Все получалось хорошо, пока числа были небольшими, а сделать тысячи зарубок на палке сложно и неудобно. Представьте себе подобную записную книжку!
Около 5 тысяч лет назад, почти одновременно в разных странах возникли различные формы записи чисел.
В Египте обозначали числа палочками, подковами, спиралями.
Индейцы майя кружочками и черточками.
С римским способом записи чисел вы немного знакомы.
Славяне позаимствовали способ записи у греков: они обозначали числа буквами с особыми значками наверху, которые назывались титлы.
Идея бесконечности ряда натуральных чисел еще не возникла.
Самое большое число наши предки называли «колода», что соответствовало 10 в 49 степени «Сего числа несть больше» - писал летописец.
Для обозначения больших чисел был придуман очень интересный способ - одна и та же буква в разном орнаменте.
Учитель: Для обозначения результата вычитания равных натуральных чисел человек изобрел ноль. Однако ремесленникам, торговцам, мореплавателям одних натуральных чисел и нуля было уже мало, поскольку возникали задачи деления земли, наследства и многого другого, да и развивающаяся наука математика нуждалась в разрешении вопроса о не всегда возможном делении натуральных чисел друг на друга.
3.3. Так появились дроби (Слайды 7, 8)
В древности к целым и дробным числам относились по-разному.
«Если ты захочешь делить единицу, математики засмеют тебя и не позволят это сделать» - писал знаменитый ученый и философ Платон. Однако постепенно человек привык к мысли, что дроби - равноправные числа.
Уже в 4 веке до нашей эры Пифагор, создавая теорию музыкальной шкалы, связал музыкальные интервалы с дробями. Долгие годы считалось, что нет ничего сложнее, чем действия с дробями. В средние века деление чисел служило признаком высоко образованного человека.
«Попал в дроби» - эта немецкая поговорка говорит о том, что человек попал в очень сложное положение.
А Лев Николаевич Толстой сделал интересное и меткое арифметическое сравнение, что «человек подобен дроби, числитель которой есть то, что человек представляет собой, а знаменатель, что он думает о себе.
Чем большего мнения о себе человек, тем больше знаменатель, а значит, тем меньше дробь».
Учитель: Мы забежали на много веков вперед. Систематизируя наши знания о числах, нельзя обойтись без рассказа о Пифагоре и его учениках.
3.4. Пифагор и его школа (Слайд 9)
Письменных документов о великом математике не сохранилось. Известно, что в возрасте примерно 40 лет он поселился в одном из греческих городов на юге Италии, Пифагор достиг больших успехов в изучении разных наук, особенно философии математики. Он настолько преуспел в науках, что у него появились ученики и последователи. Была образована философская школа Пифагора, члены которой узнавали друг друга по отличительному знаку - пентаграмме, имеющей форму пятиконечной звезды.
Конечно, выбор символа не был случаен: пифагорейцы считали, что пентаграмма обладает мистическими свойствами и обладает способностью отгонять злых духов. Число лучей воспринималось как число любви, жизни и здоровья. Пифагор первым разделил числа на четные и нечетные, простые и составные. К числам он хотел свести весь мир.
Пифагорейцы изучали свойства дружественных, совершенных. фигурных чисел. Совершенные числа равнялись сумме своих делителей (кроме самого себя), число 6 = 1 + 2 + 3, особенно почиталось, ведь за 6 дней Бог сотворил мир.
Еще важнее считалось число 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, по мнению Пифагора, первые четыре четных и четыре нечетных числа служили основой мира - самая страшная, нерушимая клятва была у пифагорейцев клятва числом 36.
Каждому натуральному числу приписывалось особое, мистическое значение.
«Вещи суть копии чисел, числа - начала вещей», в этом были убеждены последователи Пифагора.
Средневековые математики разделяли эти взгляды: сверхъестественные способности они приписывали дружественным числам.
В одном из трактатов сохранился такой рецепт: «Чтобы добиться взаимности в любви, нужно на чем-либо написать числа 220 и 284, записку с большим числом съесть самому, а меньшее число дать объекту любви»
Автор добавлял, что проверил рецепт на себе.
Изучая свойства различных чисел и их групп, Пифагорейцы заложили основы важного раздела математики - теории чисел.
Учитель:
С дробными числами человек познакомился намного раньше, чем с отрицательными. Впервые идея самостоятельных отрицательных чисел возникла у математиков Индии (5-7 век), причем они трактовали эти числа как долг. Окончательно ввел в математику отрицательные числа Рене Декарт, он же определил им место на числовой прямой.
Числа натуральные, целые отрицательные и нуль образовали множество целых чисел Z, к ним добавились дробные числа, и получилось множество рациональных чисел Q («ratio» - отношение) (Слайд 10)
4 . Повторяется определение рационального числа.
Действительно, подтвердим примерами корректность определения:
Задание: Представить рациональное число в виде десятичной дроби:
Вопросы учащимся
1. Какие числа вы получили в результате деления?
2. Чем отличаются полученные десятичные дроби? (Введение определения периодической десятичной дроби)
3. Существует ли отличие периодических дробей друг от друга, если «да», то в чем оно выражается?
Вывод: Любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Вопрос:
Какое число может быть исключено из определения и почему? (Слово «конечная» - так как любая конечная десятичная дробь может быть представлена в виде бесконечной периодической дроби с периодом «0»).
Виды периодических дробей: чисто периодическая и смешанная периодическая, примеры.
Выполнение № 316, уточнить вид дроби.
5. Введение понятия действительного числа. (Слайд № 11)
Вопрос: Существуют ли бесконечные дроби другого вида?
Если «да», то приведите пример. (0,101001000100001000001000000…)
Учащиеся пробуют создать аналогичную дробь.
Учащиеся дополняют круги Эйлера до множества действительных чисел R
Пифагор и его страшная тайна
Открытие иррациональных чисел приписывают пифагорейцам.
Однако, они считали, что иррациональные числа нарушают гармонию мира, поэтому поклялись, держать свое открытие в тайне. Тот, кто нарушит клятву, должен был умереть. Ученик Пифагора Гиппас не сдержал клятву, и боги его покарали, корабль, на котором плыл Гиппас, потерпел кораблекрушение во время бури, ниспосланной богами.
6. Учитель подводит промежуточный итог урока.
Задается домашнее задание: П.21, №317(2,4,6), №318(2,4), №322(2,4,6).
Реферат «История математического открытия» (срок исполнения 1 неделя).
Учитель показывает и рекомендует ряд книг, которые можно использовать для подготовки сообщения (Е.И. Игнатьев «Хрестоматия по истории математики», И.Я. Бурау «Загадки мира чисел», Г.И.Глейзер «История математики в школе для 5-8, 9-10 классов».)
Самостоятельная работа учащихся с целью проверки уровня усвоения материала.
Тест состоит из двух вариантов. Каждый из вариантов структурно разбит на два уровня. Первый уровень позволяет проверить, насколько учащийся может повторить новую информацию. Задания второго уровня позволяют проверить, насколько учащийся понял и научился применять новые знания. Задания, включенные в тест, оцениваются в зависимости от их уровня сложности.
8. Рефлексия
Учащиеся отвечают на вопросы:
1) Понравился ли тебе урок?
2) Что тебе не понравилось?
3) Какой фрагмент урока был самым интересным?
9. Итоги урока
Введены понятия «рациональное число», «действительное число», установлена связь между натуральными, целыми, рациональными и действительными числами. Учащиеся научились обыкновенные дроби представлять в виде бесконечной периодической и, наоборот, бесконечные периодические дроби в виде обыкновенных дробей. Узнали много
интересного из истории развития понятия числа.
(Слайд №12)
Урок заканчивают строки стихотворения В. Брюсова «Числа», посвященного вдохновенным мечтателям, которые с помощью царственных чисел совершают великие открытия.
Мечтатели, сибиллы и пророки!
Дорогами, запретными для мысли,
Проникли - вне сознания - далеко,
Туда, где светят царственные числа.
Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!
Свободные, бесплотные, как тени,
Вы радугой связующей повисли
К раздумьям, с вершины вдохновенья!
