Презентация к занятию «Действительные числа. Множество действительных, рациональных и иррациональных чисел»
Цель: вспомнить основные понятия, связанные с действительными числами.
1 слайд
Тема: Множества чисел
Работу подготовила
Преподаватель ГБПОУ «Ржевский колледж»
Сергеева Т.А.
2 слайд.
«Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней.
(А. Дородницын)
3 слайд.
Вспомним основные понятия, связанные с действительными числами.
Какие множества чисел вы знаете?
4 слайд.
Натуральные числа – числа, которые используются для счета предметов: 1,2,3,4,5……
Обозначают множество натуральных чисел буквой N
Например: «5 принадлежит множеству натуральных чисел» при этом записывают –
5 слайд
Натуральные числа , которые делятся на 1 и на само себя (например, 2, 3, 5, 7, 11) называют простыми числами .
Все остальные числа называются составными и могут быть разложены на простые множители (например,)
Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывается с помощью цифр
(на пример)
6 слайд
Пример
Число, т.е. число состоит из1 тысячи, 2 сотен, 3 десятков и 7 единиц
Значит если а - цифра тысяч, b –цифра сотен, d- цифра десятков и c- цифра единиц то имеем а 1000+b 100+c 10+d.
7 слайд
Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль составляют множество целых чисел.
Обозначают множество целых чисел буквой Z.
Например: «-5 принадлежит множеству целых» при этом записывают –
8 слайд
Дробные числа вида (где n-натуральное число, m-целое число), десятичные дроби (0,1; 3,5) и целые (положительные и отрицательные) вместе составляют множество рациональных чисел.
Обозначают множество рациональных чисел буквойQ.
Например: «-4,3 принадлежит рациональных целых» при этом записывают
9 слайд
Дробные числа вида, десятичные дроби (0,1; 3,5) и целые (положительные и отрицательные) вместе составляют множество рациональных чисел.
Любое рациональное число можно представить в виде дроби простой дроби, (где n-натуральное число, m-целое число)
Например:
Любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Например:
10 слайд
Множество рациональных чисел объединяет в себе целые числа и дробные, а множество действительных чисел включает в себя рациональные и иррациональные числа. Отсюда вытекает определение действительных чисел.
Определение: Действительные числа - это множество рациональных и иррациональных чисел.
11 слайд
Историческая справка
12 слайд
Множество действительных чисел называют также числовой прямой .
Каждой точке координатной прямой соответствует некоторое действительное число, и каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.
13 слайд
Домашнее задание.
Цель: Систематизировать знания о натуральных, целых, рациональных числах, периодических дробях. Учить записывать бесконечную десятичную дробь в виде обыкновенной, формировать навык выполнения действий с десятичными и обыкновенными дробями. Иметь понятие об иррациональных числах, множестве действительных чисел. Иметь понятие об иррациональных числах, множестве действительных чисел. Учить выполнять вычисления с иррациональными выражениями, сравнивать числовые значения иррациональных выражений.
Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им. Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им. И. Гёте. И. Гёте. Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им. Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им. И. Гёте. И. Гёте. натуральными. N Naturalis Для счета предметов используются числа, которые называются натуральными. Для обозначения множества натуральных чисел употребляется буква N -первая буква латинского слова Naturalis, «естественный», «натуральный» Какие числа называются натуральными? Как обозначается множество натуральных чисел?
Рациональных чисел QQuotient Множество чисел, которое можно представить в виде называется множеством рациональных чисел и обозначается - Q первой буквой французского слова Quotient - «отношение». целых Zahl Натуральные числа, числа им противоположные и число нуль, образуют множество целых чисел, которое обозначается Z - первой буквой немецкого слова Zahl - «число». Какие числа называются целыми? Как обозначается множество целых чисел? Какие числа называются рациональными? Как обозначается множество рациональных чисел?
Натуральные числа Числа, им противоположные Целые 0
Сумма, произведение, разность Сумма, произведение, разность и частное частное рациональных чисел есть рациональное число рациональное. Сумма, произведение, разность Сумма, произведение, разность и частное частное рациональных чисел есть рациональное число рациональное. Рациональные числа rрациональное r - рациональное
Найдите период в записи чисел и запишите каждое число кратко: 0,55555….4,133333…3, …7, ….3, …3,727272…21, …
0, Пусть х = 0,4666… 10 х = 4,666… 10 х =4,666… 100 х = 46,666… 100 х – 10 х = 46,666…- 4, х= 42
«Множество действительных чисел» интересная и обширная тема из школьной алгебры. Так как школьники уже ознакомились с множествами рациональных и иррациональных чисел, то они могут перейти к изучению действительных чисел, ведь они включают в себя и первое и второе множества.
слайды 1-2 (Тема презентации "Множество действительных чисел", определение множества действительных чисел)
Как и любое другое множество, множество действительных чисел имеет буквенное обозначение, - R. Это понятие захватывает все бесконечные и все конечные десятичные дроби. Таким образом, множество всех действительных чисел можно записать как интервал от минус бесконечности к плюс бесконечности, или наоборот, суть от чего не меняется. Эту информацию демонстрирует первый слайд.
слайды 3-4 (примеры)
Далее, на следующей странице презентации «Множество действительных чисел» приводится текстовая информация. В ней говорится о том, что такое координатная прямая как геометрическая модель, и что такое числовая прямая. Прежде чем давать определение, слайд содержит некоторое предисловие, то есть текст, исходя из которого, можно лучше понять суть определения. Как видно, определения выделены желтым цветом, а само понятие - красным. Это поможет школьникам лучше сконцентрироваться на этом понятии и лучше его визуально запомнить.
Далее, следующая страница, содержит геометрическую запись числовой прямой, то есть - чертеж. Ниже приводятся основные формулы, которые будут очень полезны при преобразованиях или упрощениях громоздких и простых выражений. К ним относятся формула разности квадратов, правило перемещения при сумме и произведения, ассоциативное правило и др. С некоторыми из этих правил, школьники ознакомлены уже в предыдущих уроках по алгебре. Будет полезным вспомнить этот материал.
На следующем слайде дается определение того, в каком случае число «а» будет называться меньше (или больше) некоторого другого числа. Речь идет о действительных числах.
слайды 7-8 (примеры)
Ниже демонстрируются через знаки сравнений случаи, при которых некоторое действительное число «а» (или выражение) является положительным, отрицательным.
На следующем слайде сравнивают некоторое число «а», принадлежащее множеству действительных чисел, с нулем через знаки «больше или равно» или «меньше или равно». Слева написаны сами неравенства, а справа - выводы.
Перейдем к следующему слайду. Он посвящен практическим примерам. В первом примере предлагается сравнить дробное число с целым положительным. Вначале, школьники могут попробовать самостоятельно справиться с примером. Ниже приводится решение.
Второй пример заключается в сравнении суммы рационального и иррационального числа чисел с целым положительным числом. Как видно из решения, при преобразованиях иррациональное число в виде квадратного корня записывается через бесконечную непериодическую дробь.
Третий пример является наиболее простым. Ведь предлагается сравнить отрицательное число с положительным. И вовсе неважно, к каким множествам принадлежат эти числа. Достаточно посмотреть на их знаки.
слайд 9 (пример)
Последний слайд также включает в себя примеры с решениями. Если школьникам удастся разобраться в практических примерах, то они смогут самостоятельно справляться с аналогичными заданиями из домашней работы или самостоятельных и контрольных работ.
Слайд 2
На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.
Слайд 3
Не нужно подробно изучать действительные числа.
Слайд 4
Цель: проследить процесс появления действительных чисел и дальнейшее их изучение.
Задачи исследования: Проследить процесс появления действительных чисел; Изучить развитие теории о действительных числах; Выяснить, для чего нужно изучать действительные числа;
Слайд 5
Понятие числа зародилось в глубокой древности. На протяжении веков это понятие подвергалось расширению и обобщению.
Слайд 6
Изучила различные источники информации; Проследила процесс появления действительных чисел; Проанализировав проделанную работу, пришла к выводу.
Слайд 7
На первом этапе возникали понятия «больше», «меньше» или «равно».Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокой образованности человека.
Слайд 8
С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука АРИФМЕТИКА. Спустя некоторое время Пифагор открыл неизмеримые отрезки, длины которых не могли выразить ни целым, ни дробным числом. В дальнейшем возникает понятие «геометрическое выражение». Благодаря первым открытиям математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, а позднее и Европы пользовались иррациональными величинами. Однако их долгое время не признавали равноправными числами. Их признанию способствовало появление «Геометрии» Декарта.
Слайд 9
После стало известно, что любое число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. В 18в. Л.Эйлер и И.Ламберт показали, что всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Построение действительных чисел на основе бесконечных десятичных дробей было дано немецким математиком К.Вейрштрассом.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Действительные числа 02.09.13
Текст Числовые множества Обозначение Название множества N Множество натуральных чисел Z Множество целых чисел Q=m/n Множество рациональных чисел I=R/Q Множество иррациональных чисел R Множество вещественных чисел
Множество натуральных чисел Натуральные числа - это числа счета. N={1,2,…n,…}. Заметим, что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения, т.е. сложение и умножение выполняются всегда, а вычитание и деление в общем случае не выполняются
Множество целых чисел. Введем в рассмотрение новые числа: 1) число 0 (ноль), 2) число (- n), противоположное натуральному n. При этом полагаем: n+(-n)=(-n)+n=0, -(-n)=n. Тогда множество целых чисел можно записать так: Z ={…,-n,…-2,-1,0,1,2,…,n,…}. Заметим также, что: Это множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения, т.е. Из множества целых чисел выделим два подмножества: 1) множество четных чисел 2) множество нечетных чисел
Множество рациональных чисел. Множество рациональных чисел можно представить в виде: В частности, Таким образом, Множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме случая деления на 0).
Но в множестве рациональных чисел нельзя, например, измерить гипотенузу прямоугольного треугольника с катетам. По теореме Пифагора гипотенуза будет равна.Но число не будет рациональным, так как ни для каких m и n . Нельзя решить уравнение. Нельзя измерить длину окружности и т.д. Заметим, что всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Множество иррациональных чисел. Числа, которые представляются бесконечной непериодической дробью, будем называть иррациональными. Множество иррациональных чисел обозначим I . Для иррациональных чисел нет единой формы обозначения. Отметим два иррациональных числа, которые обозначаются буквами – это числа и е.
Число «пи» Отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная, равная числу d
Число е. Если рассмотреть числовую последовательность: с общим членом последовательности то с ростом п значения будут возрастать, но никогда не будет больше 3. Это означает, что последовательность ограничена. Такая последовательность имеет предел, который равен числу е.
Известно, что мощность иррациональных чисел больше мощности рациональных, т.е. Иррациональных чисел «больше», чем рациональных. Кроме того, как бы ни были близки два рациональных числа, между ними всегда есть иррациональное, т.е.
Множество вещественных (действительных) чисел. Множество вещественных чисел – это объединение множества рациональных чисел. Вывод:
Определение модуля вещественного числа Пусть на числовой оси точка А имеет координату а. Расстояние от точки начала отсчета О до точки А называется модулем вещественного числа а и обозначается | a | . | a | = | OA | R’ a a A A O 2) Раскрытие модуля происходит по правилу:
Например: Замечание. Определение модуля можно расширить: Пример. Раскрыть знак модуля. где f (x) функция аргумента x
Основные свойства модуля 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Решение примеров с использованием свойств модуля Пример 1. Вычислить Пример 2. Раскрыть знак модуля Пример 3. Вычислить 1) 2) 3)
